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eSeRcIZI
32
Calcola tempo di volo e gittata di un razzo sparato
a 30° rispetto all’orizzontale con velocità di modulo
100 m/s.
[10,2 s; 883 m]
pIù mATemATIcA
la rappresentazione cartesiana dei
vettori
35
In un fissato sistema di rife-
rimento cartesiano, la posizio-
ne di un martin pescatore da
s
→
1
=
(1,0 m)
i
→
+
(5,5 m)
j
→
diviene
s
→
2
=
(
−
1,5 m)
i
→
+
(3,8 m)
j
→
in
un intervallo di 2,5 s. Calcola
la velocità media dell'uccello in
questo intervallo?
a
v
→
m
=
(
−
1,0 m/s)
i
→
+
(
−
0,68 m/s)
j
→
b
v
→
m
=
(2,4 m/s)
i
→
+
(
−
3,7 m/s)
j
→
c
v
→
m
=
(1,0 m/s)
i
→
+
(
−
3,7 m/s)
j
→
d
v
→
m
=
(0,45 m/s)
i
→
+
(1,6 m/s)
j
→
36
In un moto bidimensionale la velocità all’istante ini-
ziale è
v
→
0
=
(6,0 cm/s)
i
→
+
(1,0 cm/s)
j
→
e, dopo 2,0 s,
diventa
v
→
1
=
(3,0 cm/s)
i
→
+
+
(5,0 cm/s)
j
→
. Quanto
vale, in modulo, l’accelerazione media?
a
1,0 cm/s
2
b
1,5 cm/s
2
c
2,0 cm/s
2
d
2,5 cm/s
2
33
Durante una partita di calcio, un pallone finisce
sugli spalti. Se il pallone colpisce il braccio di un
tifoso a 10 m di altezza rispetto al punto di lancio
con una velocità di 15 m/s inclinata verso il basso
di 35° rispetto all’orizzontale, qual era il modulo
della velocità del pallone nell’istante in cui è stato
lanciato? Con quale angolo di inclinazione rispet-
to all’orizzontale il calciatore ha tirato il pallone?
trascura la resistenza dell’aria.
[21 m/s; 53°]
guida alla soluzione
Fissato un sistema di riferimento cartesiano con ori-
gine nel punto di lancio, asse
x
orizzontale rivolto
verso gli spalti e asse
y
verticale rivolto verso l’alto,
per risalire al modulo e alla direzione della velocità
iniziale
v
→
0
del pallone, devi innanzitutto ricavare le
componenti
v
0
x
e
v
0
y
al momento del lancio.
Poiché la resistenza dell’aria è trascurabile, in direzione
orizzontale il proiettile si muove a velocità costante;
dunque la velocità orizzontale del pallone nell’istante
finale in cui colpisce il tifoso deve essere uguale a quella
posseduta nell’istante iniziale in cui è lanciato dal cal-
ciatore. Pertanto:
v
0
x
=
v
fx
=
v
f
cos 35°
=
(……. m/s) …..
=
……… m/s
In direzione verticale il pallone si muove di moto
rettilineo con accelerazione
g
→
e velocità iniziale
v
0
y
.
Poiché nei moti uniformemente accelerati esiste
una relazione ben precisa fra posizione, velocità e
accelerazione, ossia:
s s
v v
a
− =
−
0
2
0
2
2
nel caso del moto verticale del pallone puoi scrivere:
h
v
fy
=
−
2
2
.......
....
dove
h
è la differenza di quota fra il punto di parten-
za e il punto di arrivo del pallone. Ottieni così:
.......
( sin35°) .......
....... m/s
0
2
2
=
=
=
v
v
v
y
fy
f
Ora puoi ricavare il modulo della velocità iniziale
del pallone, essendo:
v
v
x
0
0
2
2
= + =
=
+
.............
(........
) (.......
m/s
.
)
........
m/s
m/s
2
=
L’angolo di tiro del pallone rispetto all’orizzontale è:
a
=
=
arctan
......
arctan
v
x
0
...... m/s
......... m/s
=
..........°
37
Lungo tre spigoli di un acquario è definita,
come mostra la figura, una terna di assi carte-
siani. Per afferrare tre frammenti di cibo, un
pesce che nuota nell’acquario compie dappri-
ma uno spostamento
s
→
1
, subito dopo uno spo-
stamento
s
→
2
e di seguito uno spostamento
s
→
3
. In
relazione ai versori degli assi, le espressioni dei
tre spostamenti sono
s
→
1
=
(35 cm)
i
→
+
(32 cm)
j
→
,
s
→
2
=
(
−
11 cm)
i
→
+
(16 cm)
k
→
ed
s
→
3
=
(14 cm)
k
→
.
Qual è l’espressione cartesiana dello spostamen-
to risultante del pesce rispetto alla posizione di
partenza? Di quanti centimetri si è allontanato
complessivamente dalla posizione di partenza?
y
z
x
i
→
j
→
O
k
→
[
s
→
=
(24 cm)
i
→
+
(32 cm)
j
→
+
(30 cm)
k
→
; 50 cm]
guida alla soluzione
Osserviamo l’espressione cartesiana dello spostamento
s
→
1
: gli scalari che moltiplicano i versori
i
→
e
j
→
, rispetti-
vamente uguali a 35 cm e 32 cm, sono le componenti
cartesiane
s
1
x
ed
s
1
y
lungo gli assi
x
e
y
di
s
→
1
. Questo
primo spostamento avviene parallelamente al piano
xy
del sistema di assi fissato, come si deduce dal fatto che
la sua componente lungo l’asse
z
è nulla (
s
1
z
=
0).
Lo spostamento
s
→
2
avviene, invece, parallelamente
al piano
xz
: le sue componenti non nulle sono
s
2
x
,
lungo l’asse
x
, e
s
2
z
, lungo l’asse
z
. Infine, lo sposta-
34
Un cannone ha sparato una palla con un angolo di incli-
nazione di 35° rispetto all’orizzontale e questa è rica-
duta a 4,00 km di distanza dal cannone. Assumendo
che la resistenza dell’aria sia trascurabile, ricava velocità
iniziale, massima quota raggiunta e tempo di volo della
palla.
[204 m/s; 699 m; 23,9 s]
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