Costruzione di luoghi geometrici

Obiettivo didattico. Comprendere il concetto di luogo geometrico.

Consegna iniziale. Siano date due rette d e s tra loro perpendicolari. Sia F un punto giacente sulla retta s e K un punto sulla retta d. Tracciamo l’asse del segmento FK e sia P il punto di intersezione tra tale asse e la retta v che è la perpendicolare a essa, passante per K.
Quale è il luogo geometrico descritto dal punto P al variare della posizione del punto K sulla retta d?

Disegniamo la figura geometrica richiesta.

1. Selezioniamo Retta dalla casella Rette e tracciamo la retta d sul piano.
2. Selezioniamo ora Retta perpendicolare dalla casella Costruisci e tracciamo la perpendicolare s a d.
3. Selezioniamo Punto dalla casella Punti e disegniamo un punto F sulla retta s ed un punto K sulla retta d.
4. Selezioniamo Segmento dalla casella Rette e tracciamo il segmento FK.
5. Selezioniamo Asse dalla casella Costruisci e tracciamo l’asse del segmento FK.
6. Selezioniamo Punto dalla casella Punti e disegniamo il punto P dato dall’intersezione tra d ev.

Sperimentiamo e osserviamo
Proviamo ora a spostare la posizione del punto K sulla retta d e osserviamo il comportamento del punto P.
Quale tipo di curva descrive questo punto?
Per visualizzare meglio la curva descritta da P possiamo ricorrere allo strumento Luogo di Cabri.

Costruiamo il luogo geometrico descritto da P e dal movimento di K Figura 20

1.      Selezioniamo Luogo dalla casella Costruisci; puntiamo il cursore su P (apparirà il messaggio: “questo punto” e confermiamo; puntiamo poi il cursore su K (apparirà di nuovo: “questo punto”) e clicchiamo nuovamente.
Il luogo descritto da P verrà disegnato da Cabri in rosso sullo schermo.

Osservazione: appare evidente che il luogo così descritto è una parabola di fuoco F e direttrice d

Confermiamo sperimentalmente la tesi verificando che il luogo sia effettivamente la parabola ipotizzata.

1.       Selezioniamo Equidistante? dalla casella Verifica, puntiamo il cursore sul punto P (apparirà il messaggio “questo punto” e confermiamo. Ripetiamo l’operazione per i punti K ed F.
Il riquadro tratteggiato nel quale verrà mostrato il risultato della verifica apparirà sullo schermo. Spostiamo con il cursore il riquadro su un punto dello schermo e clicchiamo per confermare.
Apparirà il messaggio “I punti sono equidistanti”

2.       Proviamo a spostare la posizione del punto P e del punto F osservando che il risultato della verifica non cambierà.

Osservazione: il luogo descritto è effettivamente una parabola di fuoco F e direttrice d in quanto ogni punto appartenente ad essa è equidistante dai ciascuno dei due.
Sapresti dimostrare perché PF e PK sono uguali?

Visualizza il risultato finale
File di Cabri: parabola.fig
Puoi seguire la creazione della costruzione geometrica attraverso lo strumento Ricostruzione passo a passo del menu Edita.