Equivalenza tra poligoni

Obiettivo didattico. Effettuare osservazioni sull’equivalenza tra poligoni.

Consegna iniziale. Dato il pentagono ABCDE si disegni un quadrilatero a questo equivalente.

Guida allo svolgimento
Disegna il pentagono ABCDE e misurane l’area.

1. Seleziona Poligono dalla casella Rette; punta il cursore su un punto qualsiasi del piano e clicca per confermare la posizione del primo vertice, digita “A” e ripeti l’operazione per i successivi quattro vertici. Ricordati di ‘chiudere’ il poligono, spostando il cursore e cliccando sul vertice A come ultima operazione.
2. Misura ora l’area del pentagono.
3. Seleziona Area dalla casella Misura. Sposta il cursore su un punto qualsiasi del perimetro del poligono. Apparirà la scritta: “Questo poligono”. Clicca per conferma e l’area del poligono apparirà scritta accanto a uno dei lati.

Come nell’esercitazione precedente, potrai effettuare dei tentativi disegnando con Cabri un quadrilatero qualsiasi, misurandone l’area e poi modificandone la forma e le dimensioni fino a trovare un valore della superficie uguale a quello del pentagono.
Tuttavia scoprirai che questo non è affatto facile e che, in ogni caso, non arriverai a costruire una figura che conservi la relazione di equivalenza al modificarsi della forma e delle dimensioni del pentagono iniziale.
Ancora una volta dovrai fare ricorso alle deduzioni della geometria razionale per effettuare la tua costruzione, ricordando quanto già detto nel corso di Geometria di quest’opera.

Disegna il quadrilatero ABFE e misurane l’area

1. Seleziona Segmento dalla casella Rette e traccia il segmento EC.
2. Seleziona lo strumento Retta parallela dalla casella Rette, posizionati sul segmento EC; apparirà la scritta: “parallela a questo segmento”. Clicca e spostati sul vertice D del pentagono. Apparirà la scritta: “per questo punto”. Clicca e digita “r” per contrassegnare la retta così creata.
3. Seleziona ora Semiretta dalla casella Rette, posizionati sul punto B, clicca e poi sul punto C, cliccando ancora.
4. Seleziona Punto dalla casella Punti e clicca sull’intersezione tra la semiretta appena disegnata e la retta r. Contrassegna con “F” questo punto.
5. Ora costruisci il quadrilatero ABFE selezionando lo strumento Poligono dalla casella Rette e cliccando rispettivamente su tutti e quattro i punti A, B, F, E e ricordandoti di chiudere il poligono su A.
6. Seleziona Colore dalla casella Visualizza e colora il quadrilatero ABFE di un colore diverso (ad esempio violetto).
7. Seleziona Mostra/Nascondi dalla casella Visualizza e nascondi il segmento EC che ti è servito per arrivare alla costruzione finale. Ripeti l’operazione per la retta r e la semiretta passante per B e C.
8. Seleziona infine Area dalla casella Misura e posizionati sul lato EF del quadrilatero. Clicca e vedrai visualizzata l’area del quardilatero ABFE.

Visualizza il risultato finale
File di Cabri: Poligono.fig
Puoi seguire la creazione della costruzione geometrica attraverso lo strumento Ricostruzione passo a passo del menu Edita.

Sperimentiamo e osserviamo
Utilizza ora lo strumento mano che trascina per modificare caratteristiche iniziali della figura, cioè la dimensione e la forma del pentagono ABCDE.
Osserva che si modificherà di conseguenza anche il quadrilatero ABFE e che l’area del pentagono sarà sempre uguale all’area del quadrilatero.
Cerca di rispondere ai seguenti quesiti.
- Su quale proprietà geometrica si fonda la costruzione effettuata? Sapresti dimostrarla?
- Sarebbe possibile costruire un triangolo a sua volta equivalente al quadrilatero ABFE? Come?