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V
284
esercizi
da svolgere
285
ATTIVITÀ
Modulo
1
206
Risolvere il quadrilatero ABCD, essendo stati rilevati
con un tacheometro sessagesimale destrorso i seguen-
ti elementi.
STAZIONE
PUNTO
COLLIMATO
CERCHIO
ORIZZONTALE
DISTANZA
[m]
B
C
0° 0,0´
53,267
A
115° 48,0´
39,690
D
A
0° 0,0´
–
C
123° 26,9´
85,739
[
R.
: non esiste]
207
Si risolva il quadrilatero ABCD e si determini la
distanza del punto di intersezione delle diagonali dal
lato AD, avendo determinato mediante un teodolite
centesimale destrorso i seguenti elementi.
STAZIONE
PUNTO
COLLIMATO
CERCHIO
ORIZZONTALE
DISTANZA
[m]
A
D
40,3184g
–
B
108,6933g
48,315
B
C
–
21,406
D
A
140,3164g
–
C
42,4456g
42,404
[
R.
:
β
= 131,3431
g
;
γ
= 102,4112
g
;
—
AD = 45,850 m; A = 1.427,3 m
2
;
d
= 28,914 m]
208
Determinare l’area e il perimetro del quadrilatero
ABCD i cui vertici sono stati rilevati con un teodolite
sessagesimale destrorso dal punto S, situato all’ester-
no del quadrilatero stesso.
STAZIONE
PUNTO
COLLIMATO
CERCHIO
ORIZZONTALE
DISTANZA
[m]
S
A
39° 52´ 22´´
124,674
B
45° 44´ 25´´
212,383
C
95° 14´ 05´´
200,344
D
136° 32´ 25´´
79,636
[
R.
: A = 17.864,5 m
2
; 2
p
= 567,962 m]
209
Risolvere il quadrilatero ABCD, essendo stati rilevati
con un tacheometro sessagesimale destrorso i seguen-
ti elementi.
STAZIONE
PUNTO
COLLIMATO
CERCHIO
ORIZZONTALE
DISTANZA
[m]
B
C
0,000°
53,267
A
115,800°
39,690
D
A
0,000°
–
C
60,495°
85,739
[
R.
: prima soluzione:
—
AD = 68,396 m;
α
= 108,008°;
γ
= 75,696°; A = 3.503,6 m
2
;
seconda soluzione:
—
AD = 16,057 m;
α
= 146,661°;
γ
= 37,044°; A = 1.550,8 m
2
]
seguenti elementi.
STAZIONE
PUNTO
COLLIMATO
CERCHIO
ORIZZONTALE
DISTANZA
[m]
A
D
35° 22´45´´
124,674
B
335° 44´ 55´´
122,383
C
356° 12´ 05´´
179,684
[
R.
:
α
= 59° 37’ 50’’;
β
= 126° 12’ 43’’;
γ
= 76° 49’ 15’’;
δ
= 97° 20’ 12’’;
—
DC = 114,449 m;
—
BC = 77,820; A = 10.918 m
2
]
203
Risolvere il quadrilatero ABCD, essendo stati rilevati
con un tacheometro centesimale destrorso i seguenti
elementi.
STAZIONE
PUNTO
COLLIMATO
CERCHIO
ORIZZONTALE
DISTANZA
[m]
B
C
0,000 g
266,335
A
128,666 g
198,448
D
A
0,000 g
–
C
137,164 g
244,178
[
R.
:
α
= 75,948 g;
γ
= 58,222 g;
—
AD = 204,255 m; A = 44.600 m
2
]
204
Un appezzamento di terreno è individuato dai sei pic-
chetti numerati da 1 a 6 infissi sul terreno. Al fine di
determinarne l’area e il perimetro si sono rilevati con
un tacheometro sessagesimale destrorso, posizionato
all’esterno dell’appezzamento, i seguenti elementi.
STAZIONE
PUNTO
COLLIMATO
CERCHIO
ORIZZONTALE
DISTANZA
[m]
S
1
13,299°
15,648
2
0,000°
48,954
3
56,882°
66,051
4
72,598°
61,950
5
64,950°
36,740
6
52,443°
39,417
[
R.
: A = 1.317,2 m
2
; 2
p
= 172,407 m]
205
Risolvere il quadrilatero ABCD e determinare la
distanza del punto di intersezione delle diagonali dal
lato AB, essendo stati rilevati con un tacheometro ses-
sagesimale destrorso i seguenti elementi.
STAZIONE
PUNTO
COLLIMATO
CERCHIO
ORIZZONTALE
DISTANZA
[m]
A
B
124° 35,6´
345,65
D
38° 44,8´
308,68
C
D
46° 23,5´
195,44
B
324° 44,1´
–
[
R.
:
α
= 85° 50,8’;
β
= 69° 16,1’;
γ
= 81° 39,4’;
δ
= 123° 13,7’;
—
BC = 430,74 m; A = 94.854 m
2
;
d
= 225,97 m]
un tacheometro sessagesimale destrorso gli elementi
riportati di seguito.
STAZIONE
PUNTO
COLLIMATO
CERCHIO
ORIZZONTALE
DISTANZA
[m]
A
C
–
132,149
B
C
31° 22,5´
–
A
349° 45,7´
156,417
[
R.
:
γ
1
= 51° 49,1’;
α
1
= 86° 34,1’;
a
1
= 198,633 m;
A
1
= 10.316,6 m
2
;
γ
2
= 128° 10,9’;
α
2
= 10° 12,3’;
a
2
= 35,255 m; A
2
= 1.831,1 m
2
]
199
Determinare l’area e la distanza del baricentro G dal
vertice A del triangolo ABC, essendo stati rilevati con
un tacheometro sessagesimale destrorso gli elementi
riportati di seguito.
STAZIONE
PUNTO
COLLIMATO
CERCHIO
ORIZZONTALE
DISTANZA
[m]
A
B
130° 43,4´
–
C
44° 25,6´
45,315
B
A
312° 44,5´
–
C
0° 0,0´
–
[
R.
: A = 1.011,04 m
2
;
—
GA = 21,896 m]
200
Il triangolo ABC è stato rilevato con un teodolite cen-
tesimale destrorso misurando i seguenti elementi.
STAZIONE
PUNTO
COLLIMATO
CERCHIO
ORIZZONTALE
DISTANZA
[m]
B
C
84,317 gon
105,835
A
239,108 gon
–
A
B
205,409 gon
–
C
240,907 gon
–
Determinare l’area del triangolo e la distanza dell’or-
tocentro O dai vertici B e C.
[
R.
: A = 1.048,5 m
2
;
—
OB = 151,660 m;
—
OC = 197,686 m]
201
Risolvere il quadrilatero ABCD, essendo stati rilevati
con un tacheometro centesimale destrorso i seguenti
elementi.
STAZIONE
PUNTO
COLLIMATO
CERCHIO
ORIZZONTALE
DISTANZA
[m]
A
D
0,000 gon
66,153
B
135,456 gon
98,389
B
C
31,558 gon
115,444
A
377,165 gon
98,387
[
R.
:
γ
= 114,228 gon;
δ
= 95,923 gon;
—
DC = 65,324 m; A = 6.439,4 m
2
]
202
Risolvere il quadrilatero ABCD, essendo stati rile-
vati con un teodolite sessagesimale destrorso i
Lezione
14
Risoluzione dei triangoli e dei
poligoni dalle misure di campagna
195
Determinare le aree delle tre circonferenze ex-inscritte
al triangolo ABC, rilevato mediante un teodolite cen-
tesimale destrorso.
STAZIONE
PUNTO
COLLIMATO
CERCHIO
ORIZZONTALE
DISTANZA
[m]
A
C
50c 46
–
83
=
95,365
B
108c 63
–
33
=
88,634
[
R.
: A
a
= 13.362,8 m
2
; A
b
= 25.244,5 m
2
;
A
c
= 18.120,3 m
2
]
196
Risolvere il triangolo ABC, essendo stati rilevati con
un teodolite sessagesimale destrorso i seguenti ele-
menti.
STAZIONE
PUNTO
COLLIMATO
CERCHIO
ORIZZONTALE
DISTANZA
[m]
A
B
31° 22´ 15´´
–
C
343° 44´ 12´´
35,154
B
C
241° 42´ 05´´
–
A
196° 00´ 35´´
–
Si determinino inoltre i raggi delle circonferenze:
inscritta, circoscritta ed ex-inscritte.
[
R.
:
—
AB = 49,043 m;
—
BC = 36,297 m;
α
= 47° 38’ 03’’;
β
= 45° 41’ 30’’;
γ
= 86° 40’ 27’’;
r
in.
= 10,572 m;
r
circ.
= 24,563 m;
r
a
= 26,594 m;
r
b
= 25,382 m;
r
c
= 56,848 m]
197
Risolvere il triangolo ABC, essendo stati rilevati con
un tacheometro centesimale destrorso i seguenti ele-
menti.
STAZIONE
PUNTO
COLLIMATO
CERCHIO
ORIZZONTALE
DISTANZA
[m]
A
B
351,825 gon
122,45
C
310,441 gon
–
B
C
31,405 gon
–
A
396,764 gon
122,47
Si determini inoltre:
a
) area e perimetro della figura delimitata dalla cir-
conferenza inscritta e dai lati AB e AC;
b
) area e perimetro della figura delimitata dalla cir-
conferenza inscritta, da quella ex-inscritta al lato
AC e dai lati CB e AB con i rispettivi prolungamenti.
[
R.
:
—
AC = 68,17 m;
—
BC = 79,70 m;
α
= 41,384 gon;
β
= 34,641 gon;
γ
= 123,975 gon; A = 2.526,4 m
2
; A
1
= 601,5 m
2
;
2
p
1
= 157,50 m; A
2
= 1.354,4 m
2
; 2
p
2
= 303,18 m]
198
Risolvere il triangolo ABC, essendo stati rilevati con
40
Lezione
Lezione LIM
MODULO 1
ELEMENTI DI CALCOLO TRIGONOMETRICO
41
ATTIVITÁ
1
Nel linguaggio topografico si chiamano misure di “campagna” quelle
effettivamente determinate sul posto.
2
In topografia si chiamano usualmente “cerchi” i goniometri orizzontale e
verticale.
14.1
Le misure rilevate devono essere
interpretate anche da persone diverse
Forniamo di seguito un’indicazione di come vengono
eseguite effettivamente le misure angol ri in campagna
1
,
anche se trattere o l’argomento in modo più approfon-
dito nel secondo volume di questo corso, per abituare fin
d’ora alla lettura del “libretto di campagna”.
In genere il rilevatore riporta le misure topografiche prese
direttamente sul luogo dove avvengono le operazioni in
uno specchietto, detto appunto “libretto di campagna” o
“libretto delle misure”, suddiviso in colonne, dove vengo-
no indicate:
1) denominazione dei punti di stazione;
2) denominazione dei punti rilevati;
3) letture angolari al cerchio orizzontale;
4) letture angolari al cerchio verticale;
5) distanze o letture alla stadia;
6) note.
Lo scopo di seguire con uno schema ben ordinato la regi-
strazione delle misure effettuate è quello di consentire
anche ad altre persone di interpretarle correttamente.
L’esempio sopra riportato si riferisce a misurazioni effet-
tuate con il goniometro (chiamato
teodolite
se si tratta di
goniometro con precisioni di 0,1 ÷ 1 mgon o
tacheome-
tro
se si tratta di goniometro meno preciso, cioè 1 ÷ 10
mgon). Tale strumento permette la misurazione di angoli
su un cerchio
2
orizzontale ed un cerchio verticale, quasi
sempre a graduazione destrorsa, cioè con angoli crescenti
in senso orario.
14.2
Gli angoli di direzione individuano
una direzione rispetto ad un’origine
arbitraria
Gli angoli orizzontali sono chiamati
angoli di direzione
,
poiché individuano una determinata direzione, rispet-
to ad una direzione origine, lungo la quale la lettura al
goniometro sarebbe zero. Tali angoli vengono indicati
con il nome del vertice in cui si effettua la misura, seguito
dal nome del vertice collimato, cioè quello su cui viene
diretto il cannocchiale del goniometro, racchiusi tra
parentesi tonda. Ad esempio (AC) rappresenta l’angolo di
direzione secondo il quale il vertice C è visto dal vertice A.
Se la direzione origine coincide con la direzione del Nord
geografico o magnetico (cioè quello determinato con la
bussola), allora gli angoli di direzione si chiamano
azi-
mut
(geografici o magnetici).
In questo corso, differenzieremo tali angoli dai precedenti
angoli di direzione indicandoli con le lettere che indivi-
duano il vertice di stazione e il vertice collimato, precedu-
te dalla lettera greca
ϑ
(theta). Ad esempio
ϑ
AB
individua
l’azimut del punto B visto dal punto A.
È importante precisare sin d’ora la differenza tra gli angoli
di direzione e gli azimut. La misura di un solo angolo
di direzione non ci permette di stabilire la direzione del
punto collimato, essendo incognita la direzione corri-
spondente all’origine degli angoli orizzontali. Invece la
conoscenza di un solo azimut ci permette di conoscere la
direzione del punto collimato, in quanto l’origine degli
angoli in questo caso è nota.
Determinazione
degli angoli dalle
misure topografiche
di campagna
14
UNITÀ 3
APPLICAZIONI DELLA TRIGONOMETRIA
α
= (AB) – (AC) + 360°
β
= (BC) – (BA)
(AC)
(AB)
(BA)
(BC)
A
C
B
Origine degli angoli
del goniometro orizzontale
Origine degli angoli
del goniometro orizzontale
270°
0
180°
90°
90°
180°
0
270°
α
β
Fig. 1
LABORATORIO DELLE COMPETENZE 8-10
pp. 188-193
ESERCIZI DA SVOLGERE 195-209
pp. 284-285
MI PREPARO PER LA VERIFICA
3
p. 308
TEST DELLA LEZIONE 14
p. 243
14.3
Gli angoli orizzontali si determinano per
differenza di due angoli di direzione
Quando si deve misurare l’angolo orizzontale tra due dire-
zioni, non essendo di solito nota la posizione origine del
cerchio orizzontale (cioè lo zero del goniometro), basterà
fare la differenza tra l’angolo successivo e quello preceden-
te (procedendo in senso orario). Se tale differenza dovesse
risultare negativa significa che l’origine è compresa tra le
due direzioni: in questo caso la differenza precedente è
pari all’opposto dell’angolo esterno a quello da determi-
nare; basterà allora aggiungere alla differenza un angolo
giro (fig. 1).
La regola generale per determinare un angolo dalle misure
effettuate quindi consiste nell’identificarlo con un archetto
di circonferenza ed orientarlo in senso orario (natural-
mente se il teodolite è a graduazione destrorsa). Si esegue
quindi la differenza tra l’angolo di direzione successivo e
quello precedente; se tale differenza risulta positiva allora
si è ottenuto l’angolo cercato (come l’angolo
β
della figura
1), altrimenti si dovrà aggiungere un angolo giro al risulta-
to ottenuto (come l’angolo
α
della figura 1).
Fig. 3
Per determinare il lato AC del triangolo ABC, non misurabile
direttamente, abbiamo fatto stazione nei due vertici A e C
con un tacheometro sessagesimale destrorso determinando i
seguenti elementi:
STAZIONE
PUNTO
COLLIMATO
CERCHIO
ORIZZONTALE
DISTANZA
[m]
A
B
92,455°
168,950
C
47,395°
–
C
A
48,498°
–
B
341,030°–
Determina, oltre al lato AC, il raggio della circonferenza cir-
coscritta.
SOLUZIONE
Si comincia dapprima a rappresentare quanto rilevato dalla
stazione A: fissata un’origine degli angoli orizzontali a piacere
(freccia rossa verso l’alto in fig. 3), determiniamo il lato AB,
con una rotazione oraria di 92° dall’origine e ad una distanza
di 8,4 cm ipotizzando di fare un disegno in scala 1:2.000 (la
figura è ridotta rispetto alla scala indicata).
Il punto C si trova sulla semiretta che forma un angolo di 47°
dall’origine in posizione imprecisata, non essendo nota la
distanza. Fissiamo allora un punto arbitrario C’. Da quest’ul-
timo troviamo l’origine degli angoli orizzontali ruotando in
senso antiorario di 48° dalla direzione CA; trovata quindi
l’origine, si trova la direzione verso B, con una rotazione ora-
ria di 341°. Poiché tale semiretta deve passare per B, è neces-
sario imporre una traslazione alla semiretta appena trovata
per determinare l’effettiva posizione di C (v. fig. 2).
Per determinare gli angoli dove abbiamo fatto stazione si
applica la regola
“angolo di direzione successivo meno angolo di
direzione precedente più un angolo giro se la differenza è negativa”
:
α
= (AB) – (AC) = 92,455 – 47,395 = 45,060°
γ
= (CA) – (CB) = 48,498 – 341,030 + 360 = 67,468°
A questo punto determiniamo il lato AC e il raggio della
circonferenza circoscritta con le solite procedure per la risolu-
zione dei triangoli:
β
= 180 – (
α
+
γ
) = 67,472°
b
= AC =
AB
sen
sen = 168,955 m
γ
β ⋅
R =
AB
2 sen
= 91,456 m
γ
Esercizio svolto
B
C'
β
A
C
γ
α
Fig. 2
È fondamentale cono-
scere la graduazione
del teodolite per poter
determinare corretta-
mente gli angoli.
della Lezione
242
TOTALE PUNTI ........... /20
Test
disponibili anche come e-test
Test
della Lezione
243
ATTIVITÀ
Test
disponibili anche come e-test
Test
TOTALE PUNTI ........... /16
Determinazione degli angoli
dalle misure topografiche di campagna
14
COMPLETAMENTO (una sola parola)
1 punto per ogni risposta. Totale 3 punti
1
Gli angoli di
................................
individuano una direzione
rispetto a un’origine arbitraria
2
Gli
................................
individuano una direzione rispetto
alla direzione Nord
3
Gli angoli orizzontali si determinano mediante la
........
........................
tra due angoli di direzione
VERO/FALSO
1 punto per ogni risposta corretta. Totale 10 punti
4
Le misure rilevate devono poter essere
interpretate anche da persone diverse
V
F
5
Per determinare un angolo orizzontale deve
essere nota l’origine del cerchio orizzontale
V
F
6
Gli angoli di direzione individuano l’angolo
formato con la direzione Nord
V
F
7
Gli azimut e gli angoli di direzione
rappresentano la stessa cosa
V
F
8
La misura di un solo angolo di direzione
non permette di stabilire alcuna direzione
V
F
9
Il libretto di campagna e il libretto delle
misure rappresentano la stessa cosa
V
F
10
La misura di un solo azimut non permette
di stabilire alcuna direzione
V
F
11
Gli angoli di direzione e gli azimut sono
sempre orientati in senso orario
V
F
12
Se la differenza tra due angoli di direzione
è negativa, significa che l’origine del cerchio
orizzontale è compresa tra le due direzioni
V
F
13
Se la differenza tra due angoli di direzione
è negativa si deve aggiungere un angolo giro
per ottenere l’angolo al vertice
V
F
RISPOSTA MULTIPLA (una sola risposta corretta)
1 punto per ogni risposta corretta. Totale 3 punti
14
Dato il triangolo ABC i cui vertici si susseguono in
senso antiorario, come si determina l’angolo
α
for-
mato tra le due direzioni AB e AC?
a
Mediante la differenza tra i due angoli di direzio-
ne (AC) e (AB), aggiungendo un angolo giro nel
caso in cui risultasse negativa
b
Mediante la differenza tra i due angoli di direzio-
ne (AB) e (AC), aggiungendo un angolo giro nel
caso in cui risultasse negativa
c
Mediante la differenza tra i due angoli di direzio-
ne (AB) e (AC), aggiungendo un angolo piatto
nel caso in cui risultasse negativa
d
Mediante la differenza tra i due angoli di direzio-
ne (AC) e (AB), aggiungendo un angolo piatto
nel caso in cui risultasse negativa
15
Qual è la differenza tra angolo di direzione e azi-
mut?
a
Non esiste alcuna differenza
b
L’azimut assume come origine il Nord, l’angolo
di direzione ha un’origine arbitraria
c
L’angolo di direzione assume come origine il
Nord, l’azimut ha un’origine arbitraria
d
L’azimut è un angolo verticale, mentre l’angolo di
direzione è orizzontale
16
Come si procede quando la differenza tra l’angolo di
direzione successivo e quello precedente è negativa?
a
Si aggiunge un angolo piatto
b
Si considera il valore assoluto
c
Si aggiunge un angolo giro
d
Si aggiunge un angolo retto
Settore circolare, circonferenze
e punti notevoli dei triangoli
13
COMPLETAMENTO (una sola parola)
1 punto per ogni risposta. Totale 8 punti
1
L’incentro si trova sull’intersezione delle
................................
2
Il
..........................
si trova sull’intersezione degli assi dei lati
3
L’ortocentro si trova sull’intersezione delle
.............................
4
La circonferenza
................................
è tangente ai tre lati
5
La circonferenza
................................
passa contemporanea-
mente per i tre vertici
6
Il diametro della circonferenza
................................
è pari al
rapporto del teorema dei seni
7
L’intersezione delle
................................
si trova sul baricen-
tro del triangolo
8
L’excentro è sempre
................................
al triangolo
VERO/FALSO
1 punto per ogni risposta corretta. Totale 8 punti
9
Il settore circolare è equivalente al triangolo che ha
per base lo sviluppo e per altezza il raggio
V
F
10
Il centro della circonferenza ex-inscritta
è interno al triangolo se acutangolo, esterno
se ottusangolo
V
F
11
Il baricentro divide le mediane in due parti,
l’una il doppio dell’altra
V
F
12
L’intersezione delle bisettrici individua
l’incentro
V
F
13
L’angolo al centro è uguale al triplo di qualsiasi
angolo alla circonferenza che insiste sullo
stesso arco
V
F
14
Gli angoli alla circonferenza che insistono
sul medesimo arco sono uguali
V
F
15
La circonferenza circoscritta a un quadrilatero
passa per i quattro vertici contemporaneamente
V
F
16
Il raggio della circonferenza circoscritta si trova
dimezzando il rapporto del teorema dei seni
V
F
RISPOSTA MULTIPLA (una sola risposta corretta)
1 punto per ogni risposta corretta. Totale 4 punti
17
Che cosa rappresenta il segmento circolare?
a
La figura delimitata da un arco di circonferenza e
due raggi
b
La figura delimitata da due circonferenze concen-
triche
c
Un arco di circonferenza
d
La figura delimitata da un arco e la relativa corda
18
Che cosa rappresenta il settore circolare?
a
La figura delimitata da un arco di circonferenza e
due raggi
b
La figura delimitata da due circonferenze concen-
triche
c
Un arco di circonferenza
d
La figura delimitata da un arco e dalla relativa
corda
19
Quale, tra le seguenti, può essere considerata
l’espressione dell’area del settore circolare?
a
Il semiprodotto del raggio al quadrato per il seno
dell’angolo al centro
b
Il semiprodotto del raggio al quadrato per l’an-
golo al centro espresso in radianti
c
Il semiprodotto del raggio al quadrato per il
coseno dell’angolo al centro
d
Il semiprodotto del raggio per il quadrato dello
sviluppo
20
Come si determina analiticamente il raggio della cir-
conferenza ex inscritta?
a
Mediante il rapporto tra l’area del triangolo e il
suo semiperimetro
b
Mediante il rapporto tra l’area del triangolo e la
differenza tra semiperimetro e lato tangente
c
Mediante la metà del rapporto del teorema dei
seni
d
Mediante il rapporto tra l’area del triangolo e il
suo perimetro
B
C
A
a
c
b
β
γ
α
O
186
187
NEXT
la parte del segmento eccedente (fig. 4) con il mando
TAGLIA (TA).
Rifacciamo quindi le medesime operazioni nel vertice C per
determinare l’origine degli angoli orizzontali, facendo ruota-
re attorno a tale vertice una copia del segmento CB indietro
di 367,1135 gon; da tale direzione ruotiamo infine in avanti
di 31,6682 gon per trovare la direzione del punto D, di cui è
incognita la distanza. Tenuto conto però che D deve trovarsi
anche sulla semiretta determinata inizialmente da A, col
comando RACCORDA (RA) troviamo l’intersezione delle
due semirette che è appunto il vertice D.
Abbiamo così ottenuto il quadrilatero ABCD, del quale pos-
siamo determinare gli elementi incogniti (fig. 5):
—
AD = 157,186 m ;
—
CD = 402,417 m
Per tracciare la circonferenza inscritta al triangolo ACD,
RISOLUZIONE DEI QUADRILATERI
Vedremo ora le modalità di risoluzione di un rilievo topografico mediante AutoCAD. L’esempio che segue è la proposta di
verifica n. 3, per il quale sono previste due ore per la risoluzione. Come avremo modo di constatare, con il CAD il tempo
si riduce notevolmente a pochi minuti, utilizzando i semplici comandi già visti nella precedente esercitazione di AutoCAD.
Esercizio svolto
Risoluzione di un quadrilatero con
le misure di campagna
Il quadrilatero ABCD è stato rilevato con un tacheometro
centesimale destrorso determinando i seguenti dati:
STAZIONE
PUNTO
COLLIMATO
CERCHIO
ORIZZONTALE [gon]
DISTANZA [m]
A
D
350,5190
–
B
115,4528
198,394
B
A
35,5501
–
C
155,1440
190,382
C
D
31,6682
–
B
367,1135
–
Determina:
a
) i lati AD e CD;
b
) raggio, area e sviluppo della circonferenza inscritta al
triangolo ACD;
c
) l’area e il perimetro della figura delimitata da tale cir-
conferenza e i lati AD e CD.
Prima di iniziare a risolvere il problema dobbiamo aver
noto il sistema di misura angolare impostato con AutoCAD.
Utilizziamo allo scopo il comando UNITA di AutoCAD,
digitandolo direttamente da tastiera o accedendo al menu
“Formato” (figg. 1-2).
Selezioniamo quindi il sistema centesimale, con visua-
lizzazione di almeno 4 cifre decimali, il sistema orario e,
quale direzione origine degli angoli, il NORD. In pratica,
impostiamo AutoCAD allo stesso sistema di misurazione
angolare utilizzato nel corso di topografia.
Inseriamo ora i dati del problema, direttamente in metri uti-
lizzando la scala 1:1.000, dato che l’unità base di AutoCAD
è il millimetro, cominciando con i dati della stazione A.
Dato che la distanza AD è incognita, la inseriamo provviso-
riamente di lunghezza arbitraria, ad es. 300 m. Per dare le
coordinate polari, cioè la distanza e l’angolo di direzione,
con AutoCAD si usa il separatore di minore (<), che non
ha comunque nulla a che fare col significato di minore.
Se partiamo da un punto A scelto a caso nello schermo,
dovremmo far precedere i valori delle coordinate polari dal
simbolo “@”, che ha il significato di coordinate relative
all’ultimo punto immesso.
Per disegnare il lato AD usiamo pertanto il comando LINEA
(L), partendo da un punto qualsiasi dello schermo al punto
di coordinate polari 300<350.519g (la lettera “g” non è
indispensabile se si è sicuri di aver selezionato come unità
di misura i gradi centesimali). Analogamente, per il punto
B disegneremo un segmento col comando LINEA da A al
punto 198.394<115.4528g.
A questo punto abbiamo il risultato di figura 3, in cui sono
state aggiunte le frecce verdi che indicano l’origine del cer-
chio orizzontale e le lettere che individuano i vertici.
Passiamo quindi ad introdurre i dati della stazione B.
Troviamo dapprima l’origine del cerchio orizzontale, facen-
do ruotare indietro (cioè in senso antiorario) il lato BA attor-
no al vertice B di un angolo pari a –35,5501 gon, mediante
il comando RUOTA (RU). Troviamo l’origine possiamo
ruotare ora in senso orario, sempre attorno al punto B, di un
angolo pari a 155,144 gon, individuando così la direzione
del vertice C. La posizione di C è individuata fissando anche
la distanza BC, misurata semplicemente tracciando una cir-
conferenza con centro in B e raggio 190,382 m, e tagliando
A
H
D
B
C
α
β
Fig. 4
Fig. 1
Fig. 2
Lezioni
12-14
ATTIVITÀ
Laboratorio delle
competenze
8
AUTOCAD
A
D
B
α
Fig. 3
In ogni lezione il rimando alle ATTIVITÀ
collegate a quella lezione
I test consentono la rielaborazione dei contenu i lezio
per lezione: in modalità interattiva sono disponibili sia
online che offline per la LIM
PER L’INSEGNANTE
Nel
CD-Rom Materiali di supporto per la LIM
• i test delle lezioni in modalità interattiva
• i disegni delle lezioni da proiettare
NELLA PRIMA METÀ DEL LIBRO
LE LEZIONI
NELLA SECONDA METÀ DEL LIBRO
LE ATTIVITÀ COLLEGATE ALLE LEZIONI
40
Lezione
Lezione LIM
MODULO 1
ELEMENTI DI CALCOLO TRIGONOMETRICO
41
ATTIVITÁ
1
Nel linguaggio topografico si chiamano misure di “campagna” quelle
effettivamente determinate sul posto.
2
In topografia si chiamano usualmente “cerchi” i goniometri orizzontale e
verticale.
14.1
Le misure rilevate devono essere
interpretate anche da persone diverse
Forniamo di seguito un’indicazione di come vengono
eseguite effettivamente le misure angolari in campagna
1
,
anche se tratteremo l’argomento in modo più approfon-
dito nel secondo volume di questo corso, per abituare fin
d’ora alla lettura del “libretto di campagna”.
In genere il rilevatore riporta le misure topografiche prese
direttamente sul luogo dove avvengono le operazioni in
uno specchietto, detto appunto “libretto di campagna” o
“libretto delle misure”, suddiviso in colonne, dove vengo-
no indicate:
1) denominazione dei punti di stazione;
2) denominazione dei punti rilevati;
3) letture angolari al cerchio orizzontale;
4) letture angolari al cerchio verticale;
5) distanze o letture alla stadia;
6) note.
Lo scopo di seguire con uno schema ben ordinato la regi-
strazione delle misure effettuate è quello di consentire
anche ad altre persone di interpretarle correttamente.
L’esempio sopra riportato si riferisce a misurazioni effet-
tuate con il goniometro (chiamato
teodolite
se si tratta di
goniometro con precisioni di 0,1 ÷ 1 mgon o
tacheome-
tro
se si tratta di goniometro meno preciso, cioè 1 ÷ 10
mgon). Tale strumento permette la misurazione di angoli
su un cerchio
2
orizzontale ed un cerchio verticale, quasi
sempre a graduazione destrorsa, cioè con angoli crescenti
in senso orario.
14.2
Gli angoli di direzione individuano
una direzione rispetto ad un’origine
arbitraria
Gli angoli orizzontali sono chiamati
angoli di direzione
,
poiché individuano una determinata direzione, rispet-
to ad una direzione origine, lungo la quale la lettura al
goniometro sarebbe zero. Tali angoli vengono indicati
con il nome del vertice in cui si effettua la misura, seguito
dal nome del vertice collimato, cioè quello su cui viene
diretto il cannocchiale del goniometro, racchiusi tra
parentesi tonda. Ad esempio (AC) rappresenta l’angolo di
direzione secondo il quale il vertice C è visto dal vertice A.
Se la direzione origine coincide con la direzione del Nord
geografico o magnetico (cioè quello determinato con la
bussola), allora gli angoli di direzione si chiamano
azi-
mut
(geografici o magnetici).
In questo corso, differe zieremo tali angoli dai precedenti
angoli di direzione indicandoli con le lettere che indivi-
duano il vertice di stazione e il vertice collimato, precedu-
te dalla lettera greca
ϑ
(theta). Ad esempio
ϑ
AB
individua
l’azimut del punto B visto dal punto A.
È importante precisare sin d’ora la differenza tra gli angoli
di direzione e gli azimut. La misura di un solo angolo
di direzione non ci permette di stabilir la direzione del
punto collimato, essendo incognita la direzione corri-
spondente all’origine degli angoli orizzontali. Invece la
conoscenza di un solo azimut ci permette di conoscere la
direzione del punto collimato, in qu nto l’origine degli
angoli in questo caso è nota.
Determinazione
degli angoli dalle
misure topografiche
d campagna
14
UNITÀ 3
APPLICAZIONI DELLA TRIGONOMETRIA
α
= (AB) – (AC) + 360°
β
= (BC) – (BA)
(AC)
(AB)
(BA)
(BC)
A
C
B
Origine degli angoli
del goniometro orizzontale
Origine degli angoli
del goniometro orizzontale
270°
0
180°
90°
90°
180°
0
270°
α
β
Fig. 1
LABORATORIO DELLE COMPETENZE 8-10
pp. 188-193
ESERCIZI DA SVOLGERE 195-209
pp. 284-285
MI PREPARO PER LA VERIFICA
3
p. 308
TEST DELLA LEZIONE 14
p. 243
14.3
Gli angoli orizzontali si determinano per
differenza di due angoli di direzione
Quando si deve misurare l’angolo orizzontale tra due dire-
zioni, non essendo di solito nota la posizione origine del
cerchio orizzontale (cioè lo zero del goniometro), basterà
fare la differenza tra l’angolo successivo e quello preceden-
te (procedendo in senso orario). Se tale differenza dovesse
risultare negativa significa che l’origine è compresa tra le
due direzioni: in questo caso la differenza precedente è
pari all’opposto dell’angolo esterno a quello da determi-
nare; basterà allora aggiungere alla differenza un angolo
giro (fig. 1).
La regola generale per determinare un angolo dalle misure
effettuate quindi consiste nell’identificarlo con un archetto
di circonferenza ed orientarlo in senso orario (natural-
mente se il teodolite è a graduazione destrorsa). Si esegue
quindi la differenza tra l’angolo di direzione successivo e
quello precedente; se tale differenza risulta posit va allora
si è ottenuto l’angolo cercato (come l’angolo
β
della figura
1), altrimenti si dovrà aggiungere un angolo giro al risulta-
to ottenuto (come l’angolo
α
della figura 1).
Fig. 3
Per determinare il lato AC del triangolo ABC, non misurabile
direttamente, abbiamo fatto stazione nei due vertici A e C
con un tacheomet o sessagesimale destrorso determinando i
seguenti elementi:
STAZIONE
PUNTO
COLLIMATO
CERCHIO
ORIZZONTALE
DISTANZA
[m]
A
B
92,455°
168,950
C
47,395°
–
C
A
48,498°
–
B
341,030°–
Determina, oltre al lato AC, il raggio della circonferenza cir-
coscritta.
SOLUZIONE
Si comincia dapprima a rappresentare quanto rilevato dalla
stazione A: fissata un’origine degli angoli orizzontali a piacere
(freccia rossa verso l’alto in fig. 3), determiniamo il lato AB,
con una rotazione oraria di 92° dall’origine e ad una distanza
di 8,4 cm ipotizzando di fare un disegno in scala 1:2.000 (la
figura è ridotta rispetto alla scala indicata).
Il punto C si trova sulla semiretta che forma un angolo i 47°
dall’origine in posizione imprecisata, non essendo nota la
distanza. Fissiamo allora un punto arbitrario C’. Da quest’ul-
timo troviamo l’origine degli angoli orizzontali ruotando in
senso antiorario di 48° dalla direzione CA; trovata quindi
l’origine, si trova la direzione verso B, con una rotazione or -
ria di 341°. Poiché tale semiretta deve passare per B, è neces-
sario imporre una traslazione alla semiretta appena trovata
per determinare l’effettiva posizione di C (v. fig. 2).
Per determinare gli angoli dove abbiamo fatto stazione si
applica la regola
“angolo di direzion successivo me o angolo di
direzione precedente più un angolo giro se la differenza è negativa”
:
α
= (AB) – (AC) = 92,455 – 47,395 = 45,060°
γ
= (CA) – (CB) = 48,498 – 341,030 + 360 = 67,468°
A questo punto determiniamo il lato AC e il raggio della
circonferenza circoscritta con le solite procedure per la risolu-
zione dei triangoli:
β
= 180 – (
α
+
γ
) = 67,472°
b
= AC =
AB
sen
sen = 168,955 m
γ
β ⋅
R =
AB
2 sen
91,456 m
γ
Esercizio svolto
B
C'
β
A
C
γ
α
Fig. 2
È fondamentale cono-
scere la graduazione
del teodolite per poter
determinare corretta-
me te gli angoli.
Piano dell
’
opera, pag. 324