Basic HTML Version
MODULO 3
OTTICA E STRUMENTI TOPOGRAFICI
87
ATTIVITÁ
Esercizi da svolgere 1-14
pp. 292-293
TEST DELLA LEZIONE 25
p. 254
ε
=
2 R
kd
(3.6)
Il valore di
ε
ottenuto è naturalmente espresso in radian-
ti, essendo
k
un numero puro, come pure
d
/ R, essendo
un rapporto tra due misure di lunghezza. Volendo ora
ricavare l’errore lineare
e
R
commesso, cioè la distanza BB’,
la approssimiamo all’arco di circonferenza con centro in
A, raggio pari alla distanza topografica
d
tra i due punti e
angolo al centro
ε
:
e
R
= =
R
ε ⋅
d
kd
2
2
(3.7)
25.2
Nelle misure altimetriche si
considerano insieme gli errori
di sfericità e di rifrazione
Tale errore è concomitante con quello di sfericità
e
h
visto
nel Modulo 2, ma di segno opposto: l’errore di sfericità
causa una sottostima del dislivello tra due punti, mentre
quello di rifrazione, dato dalla (3.7), fa apparire un punto
apparentemente più alto di quello reale e quindi causa una
sovrastima del dislivello.
Pertanto l’errore di sfericità sui dislivelli complessivo
e
T
risulta:
e e
T h R
= – =
2 R 2 R
= (1
2 R
e
d kd
k
d
2
2
2
−
−
)
(3.8)
Nella tabella 1 riportiamo l’entità di tale errore, al variare
della distanza, assumendo per il coefficiente di rifrazione
il valore
k
= 0,14 e per il raggio della sfera locale il valore
R = 6.377 km. Come si può constatare, già dopo 200 m
l’errore dovuto a sfericità e rifrazione comincia a diventare
rilevante e non può essere trascurato. Se comunque si deve
determinare il dislivello tra due punti con precisioni del
millimetro, anche con distanze più brevi si dovrà prendere
in considerazione questo effetto.
Tabella 1
Errori sui dislivelli dovuti alla sfericità, alla rifrazione
e totali.
Distanza
topografica
e
h
e
R
e
t
100 m
0,78 mm 0,11 mm 0,67 mm
200 m
3,14 mm 0,44 mm 2,70 mm
500 m
19,60 mm 2,74 mm 16,86 mm
2.000 m
313,6 mm 43,9 mm 269,7 mm
1
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) è stato un matematico, astronomo e
fisico tedesco che ha fornito contributi determinanti ad analisi matemati-
ca, teoria dei numeri, calcolo numerico, geometria differenziale, geodesia,
magnetismo e ottica. Gauss è ricordato tra i più importanti matematici
della storia, tanto da essere definito il “principe della matematica”.
Per determinare l’altezza di un campanile abbiamo misurato
con un teodolite gli angoli zenitali relativi alla base ed alla
sommità del campanile, e la distanza inclinata tra il punto di
stazione S e la base del campanile.
Stazione
Punto
collimato
Cerchio
verticale
Distanza
inclinata [m]
S
base A
92° 46,2’
126,455
sommità B
74° 23,8’
–
Determina l’altezza del campanile, supposto perfettamente
verticale, considerando anche gli effetti dovuti alla sfericità e
alla rifrazione.
Soluzione
Gli angoli zenitali misurati col cerchio verticale corrispondo-
no a quelli formati dalla verticale con le linee di collimazione
SA e SB (fig. 2). Dalla conoscenza della distanza inclinata SA
possiamo quindi determinare quella orizzontale SH con la
formula vista nel Modulo 2:
—
SH =
—
SA sen (180° –
ϕ
SA
) =
—
SA sen
ϕ
SA
= 126,307 m
Possiamo ora risolvere separatamente i due triangoli rettango-
li SAH e SBH, ricavando i due cateti AH e HB che sommati tra
loro forniranno l’altezza del campanile:
—
AH =
—
SH tan (
ϕ
SA
– 90°) = 6,111 m
—
HB =
—
SH tan (90° –
ϕ
SB
) = 35,273 m
Pertanto l’altezza del campanile, prescindendo dagli effetti
dovuti alla rifrazione ed alla sfericità, è pari a:
h
= 6,111 + 35,273 = 41,384 m
Gli effetti della rifrazione e della sfericità su tale determina-
zione sono nulli (nell’ipotesi di Gauss). Infatti l’errore di sfe-
ricità e rifrazione, fornito dall’equazione (3.20), e che ad una
distanza di 126,3 m (assumendo un coefficiente di rifrazione
medio pari a 0,14 ed un raggio della sfera locale di 6.377 km)
è pari a:
e
T
2
= (1 – 0,14)
126,3
2 6.377.000
= 0,001 m
⋅
dovrebbe essere sottratto da AH ed aggiunto ad HB, annullan-
done quindi l’effetto.
Esercizio svolto