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MODULO 1
ELEMENTI DI CALCOLO TRIGONOMETRICO
41
ATTIVITÁ
laboratorio delle competenze 8-10
pp. 188-193
Esercizi da svolgere 195-209
pp. 284-285
Mi preparo per la verifica
3
p. 308
TEST DELLA LEZIONE 14
p. 243
14.3
Gli angoli orizzontali si determinano per
differenza di due angoli di direzione
Quando si deve misurare l’angolo orizzontale tra due dire-
zioni, non essendo di solito nota la posizione origine del
cerchio orizzontale (cioè lo zero del goniometro), basterà
fare la differenza tra l’angolo successivo e quello preceden-
te (procedendo in senso orario). Se tale differenza dovesse
risultare negativa significa che l’origine è compresa tra le
due direzioni: in questo caso la differenza precedente è
pari all’opposto dell’angolo esterno a quello da determi-
nare; basterà allora aggiungere alla differenza un angolo
giro (fig. 1).
La regola generale per determinare un angolo dalle misure
effettuate quindi consiste nell’identificarlo con un archetto
di circonferenza ed orientarlo in senso orario (natural-
mente se il teodolite è a graduazione destrorsa). Si esegue
quindi la differenza tra l’angolo di direzione successivo e
quello precedente; se tale differenza risulta positiva allora
si è ottenuto l’angolo cercato (come l’angolo
β
della figura
1), altrimenti si dovrà aggiungere un angolo giro al risulta-
to ottenuto (come l’angolo
α
della figura 1).
Fig. 3
Per determinare il lato AC del triangolo ABC, non misurabile
direttamente, abbiamo fatto stazione nei due vertici A e C
con un tacheometro sessagesimale destrorso determinando i
seguenti elementi:
Stazione
Punto
collimato
Cerchio
orizzontale
Distanza
[m]
A
B
92,455°
168,950
C
47,395°
–
C
A
48,498°
–
B
341,030°–
Determina, oltre al lato AC, il raggio della circonferenza cir-
coscritta.
Soluzione
Si comincia dapprima a rappresentare quanto rilevato dalla
stazione A: fissata un’origine degli angoli orizzontali a piacere
(freccia rossa verso l’alto in fig. 3), determiniamo il lato AB,
con una rotazione oraria di 92° dall’origine e ad una distanza
di 8,4 cm ipotizzando di fare un disegno in scala 1:2.000 (la
figura è ridotta rispetto alla scala indicata).
Il punto C si trova sulla semiretta che forma un angolo di 47°
dall’origine in posizione imprecisata, non essendo nota la
distanza. Fissiamo allora un punto arbitrario C’. Da quest’ul-
timo troviamo l’origine degli angoli orizzontali ruotando in
senso antiorario di 48° dalla direzione CA; trovata quindi
l’origine, si trova la direzione verso B, con una rotazione ora-
ria di 341°. Poiché tale semiretta deve passare per B, è neces-
sario imporre una traslazione alla semiretta appena trovata
per determinare l’effettiva posizione di C (v. fig. 2).
Per determinare gli angoli dove abbiamo fatto stazione si
applica la regola
“angolo di direzione successivo meno angolo di
direzione precedente più un angolo giro se la differenza è negativa”
:
α
= (AB) – (AC) = 92,455 – 47,395 = 45,060°
γ
= (CA) – (CB) = 48,498 – 341,030 + 360 = 67,468°
A questo punto determiniamo il lato AC e il raggio della
circonferenza circoscritta con le solite procedure per la risolu-
zione dei triangoli:
β
= 180 – (
α
+
γ
) = 67,472°
b
= AC =
AB
sen
sen = 168,955 m
γ
β ⋅
R =
AB
2 sen
= 91,456 m
γ
Esercizio svolto
B
C'
β
A
C
γ
α
Fig. 2
È fondamentale cono-
scere la graduazione
del teodolite per poter
determinare corretta-
mente gli angoli.