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10.
LE EQUAZIONI PARAMETRICHE: DETERMINAZIONE DEI
VALORI DI UN PARAMETRO PER ASSEGNATE CONDIZIONI
Ricordiamo che un’equazione si dice
parametrica
(o
letterale
) quando oltre all’incognita vi figurano anche
altre lettere, dette parametri.
Ad esempio, l’equazione in
x
:
x
2
2
k
þ
1
ð
Þ
x
þ
1
¼
0
e` parametrica e il parametro e`
k
. Ricordiamo che il ruolo giocato in questa equazione dalle due let-
tere
k
ed
x
e` ben diverso;
k
rappresenta una variabile alla quale possiamo attribuire a nostro piacere
qualsiasi valore,
x
rappresenta invece l’incognita, cioe` la variabile che puo` assumere solo determinati
valori e precisamente quelli che rendono verificata l’uguaglianza. Naturalmente i valori da attribuire
alla
x
affinche´ l’uguaglianza sia verificata variano al variare dei valori attribuiti al parametro
k
, sono
cioe` una funzione di
k
.
Possiamo ora porci questo problema: fissate per le radici dell’equazione parametrica alcune condizio-
ni, e` possibile trovare dei valori del parametro che le rendono verificate?
Per esempio, riferendoci alla precedente equazione parametrica, possiamo chiederci per quali valori
del parametro
k
si verifica una delle seguenti condizioni:
a)
le radici sono uguali;
b)
le radici sono opposte;
c)
una radice e` nulla;
d)
le radici sono tra loro reciproche;
e)
una radice e` uguale a un numero prefissato (per esempio 2);
f)
la somma delle radici e` un numero prefissato (per esempio 5);
g)
la somma dei quadrati delle radici e` un numero prefissato (per esempio 7);
h)
la somma degli inversi delle radici e` un numero prefissato (per esempio 9);
i)
una radice e` multipla dell’altra (per esempio quadrupla).
Per rispondere a questo quesito, esaminiamo ciascuna delle condizioni ora poste, per vedere, in
ognuno dei casi, come possiamo tradurle in condizioni per i coefficienti e quindi determinare i valori
di
k
che le rendono verificate.
a) Radici uguali
Affinche´ le radici dell’equazione:
x
2
2
k
þ
1
ð
Þ
x
þ
1
¼
0
[1]
siano uguali, cioe` sia:
x
1
¼
x
2
deve essere
¼
0
e quindi:
k
þ
1
ð
Þ
2
1
¼
0
)
k
2
þ
1
þ
2
k
1
¼
0
)
k
2
þ
2
k
¼
0
:
Poiche´ questa uguaglianza e` verificata per
k
¼
0 e per
k
¼
2, concluderemo che per questi valori le
radici
x
1
e
x
2
sono uguali.
A verifica di quanto abbiamo ottenuto sostituiamo nell’equazione proposta una volta il valore
k
¼
0
e un’altra il valore
k
¼
2 e risolviamo quindi le due equazioni; entrambe dovranno avere le radici
coincidenti. Infatti:
n
per
k
¼
0 l’equazione proposta diviene:
x
2
2
x
þ
1
¼
0
che risolta da` :
x
1
¼
x
2
¼
1
n
per
k
¼
2 l’equazione proposta diviene:
x
2
þ
2
x
þ
1
¼
0
che risolta da` :
x
1
¼
x
2
¼
1.
Unita` 1
Equazioni di grado superiore al 1
o
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