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PrOBLEMA
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testardo di un asino!
L’asino non vuole uscire dalla stalla, e Sonia si fa aiutare
da Ettore a tirarlo fuori. Legate due corde alla briglia
dell’animale, Sonia ed Ettore si mettono a tirare oriz-
zontalmente. Il disegno mostra che la corda di Sonia e
quella di Ettore formano con l’asse longitudinale della
stalla, rispettivamente, un angolo di 20° e uno di 32°.
La risultante delle due forze applicate è diretta lungo
l’asse e fa sì che l’asino, che ha una massa di 130 kg,
scivoli diritto verso l’uscita nonostante tenga gli zoccoli
puntati a terra. Se la forza di Sonia ha un’intensità di
310 N e il coefficiente di attrito dinamico fra gli zoccoli
e il pavimento è 0,32, di quanto accelera l’asino?
Prendendo le componenti
x
e
y
dei due membri, ed
essendo
F
dy
=
0 e
a
y
=
0, otteniamo:
F
Sx
+
F
Ex
+
F
dx
=
m a
x
F
Sy
+
F
Ey
=
0
La seconda di queste equazioni esprime la condizione
di equilibrio lungo l’asse
y
. Da essa ricaviamo il modulo
non noto della forza
F
→
E
in funzione del modulo di
F
→
S
e
degli angoli
a
S
e
a
E
. Sostituendo nella prima, troviamo
infine il modulo
a
=
a
x
dell’accelerazione.
Dati e incognite
F
S
=
310 N
a
E
=
−
32°
k
d
=
0,32
a
S
=
20°
m
=
130 kg
a
=
?
soluzione
Il vettore
F
→
S
forma con l’asse
x
un angolo
a
S
positivo,
in quanto giace nella metà superiore del piano car-
tesiano. Il vettore
F
→
E
, che giace nella metà inferiore,
forma invece un angolo
a
E
negativo.
La condizione di equilibrio lungo l’asse
y
può essere
espressa nella forma:
F
S
sin
a
S
+
F
E
sin
a
E
=
0
da cui
F F
E
S
S
E
=−
=−
(
)
−
(
)
=
sin
sin
sin
sin
a
a
310
20
32
200
N
°
°
N
L’intensità dell’attrito è il prodotto
F
d
=
k
d
m g
fra
il coefficiente
k
d
di attrito dinamico e il peso
m g
dell’asino. Essendo
F
dx
=
−
F
d
, l’equazione da cui
ricavare
a
diventa:
F
S
cos
a
S
+
F
E
cos
a
E
−
k
d
m g
=
m
a
Da questa si ottiene:
a
F
F
m
k g
S
S
E
E
d
=
+
− =
=
(
)
+
(
)
−
cos
cos
cos
cos
a
a
310
20 200
N °
N 32
130
0 32 9 81
0 41
°
kg
m/s
m/s
2
2
(
)
−
=
=
,
( ,
)
,
x
y
O
F
d
a
S
a
E
a
F
E
F
S
20
°
32
°
Analisi della situazione fisica
Definiamo, sul pavimento della stalla, un sistema carte-
siano
Oxy
con l’asse
x
orientato verso l’uscita. Le forze
che producono l’accelerazione dell’asino, che qui con-
sideriamo come punto materiale, sono quelle parallele
al pavimento, rappresentate nel diagramma: le forze
F
→
S
ed
F
→
E
, esercitate da Sonia e da Ettore, e la forza di attrito
dinamico
F
→
d
. Gli angoli
a
S
e
a
E
che
F
→
S
ed
F
→
E
formano con
l’asse
x
sono noti. Come si stabilisce, invece, l’orientazio-
ne di
F
→
d
?
L’asino si muove “diritto verso l’uscita”, cioè nella dire-
zione e nel verso dell’asse
x
. Pertanto la forza
F
→
d
, che si
oppone al moto, giace lungo questo asse puntando nel
verso negativo.
Nel diagramma è indicata anche l’accelerazione
a
→
dell’animale, orientata come l’asse
x
.
Sappiamo che lungo l’asse
y
le forze
F
→
S
ed
F
→
E
si bilancia-
no, cioè l’asino non è soggetto ad alcuna sollecitazione
in direzione trasversale. Questo esclude che a mantenere
l’equilibrio lungo l’asse
y
contribuisca l’attrito statico.
Per il secondo principio della dinamica vale l’equazione
vettoriale:
F
→
S
+
F
→
E
+
F
→
d
=
m
a
→
Impara la strategia
Se
F
→
1
,
F
→
2
, … sono le forze applicate a un corpo di massa
m
, per il secondo principio si ha:
F
→
1
+
F
→
2
+
…
=
m
a
→
Supponiamo che le forze siano tutte parallele allo stes-
so piano. Definito un sistema cartesiano
Oxy
, questa
equazione vettoriale equivale a due equazioni scalari
indipendenti, una per le componenti
x
e una per le com-
ponenti
y
delle forze e dell’accelerazione
a
→
:
F
1
x
+
F
2
x
+
…
=
m a
x
F
1
y
+
F
2
y
+
…
=
m a
y
Nello spazio tridimensionale si deve aggiungere un’ana-
loga equazione per le componenti
z
.
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