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Da
a
x
e
a
y
è possibile determinare anche l’angolo
a
fra il vettore e l’asse
x
. Si ha infatti:
tan
a
=
a
a
y
x
cioè
a
è l’angolo la cui tangente è uguale al rapporto
a
y
/
a
x
.
La funzione inversa alla tangente, che associa a un valore
x
di tangente
il corrispondente angolo, è detta
arcotangente
e indicata con arctan
x
.
Possiamo quindi scrivere:
a
=
arctan
a
a
y
x
Le calcolatrici scientifiche forniscono i valori del coseno, del seno e della
tangente di un angolo, così come quelli dell’arcotangente e delle altre
funzioni inverse.
Vettori nello spazio tridimensionale
Due vettori non paralleli individuano un piano. Tre o più vettori, invece,
non necessariamente giacciono in uno stesso piano.
Per rappresentare vettori orientati lungo direzioni qualsiasi dello spazio
tridimensionale ed eseguire operazioni su di essi, si deve ricorrere a un
sistema cartesiano
Oxyz
a tre assi, mutuamente perpendicolari.
Il procedimento per determinare i vettori componenti
a
→
x
,
a
→
y
e
a
→
z
di un vet-
tore
a
→
secondo una terna assegnata di assi è illustrato nella
fig. 26
, in cui
a
→
è rappresentato con il punto di applicazione coincidente con l’origine
degli assi
O
. Detta
A
la proiezione perpendicolare del secondo estremo
A
del vettore sul piano
xy
, si ha:
a
→
=
O
−→
A
+
a
→
z
con
O
−→
A
=
a
→
x
+
a
→
y
Pertanto,
a
→
=
a
→
x
+
a
→
y
+
a
→
z
I vettori
a
→
x
,
a
→
y
e
a
→
z
, essendo paralleli agli assi ed essendo la loro somma
uguale ad
a
→
, sono i componenti di
a
→
rispetto al sistema cartesiano con-
siderato.
I moduli dei tre vettori, preceduti dal segno “più” o “meno” a seconda
che questi abbiano verso concorde o discorde rispetto ai corrispondenti
assi, sono le componenti scalari cartesiane
a
x
,
a
y
e
a
z
di
a
→
.
Indicando con
k
→
il versore dell’asse
z
, l’espressione cartesiana di
a
→
riferita
a un sistema
Oxyz
diventa:
a
→
=
a
→
x
+
a
→
y
+
a
→
z
=
a
x
i
→
+
a
y
j
→
+
a
z
k
→
Somma e differenza di vettori
in rappresentazione cartesiana
Rappresentare i vettori mediante le loro componenti cartesiane, in riferi-
mento a un prefissato sistema di assi, può facilitare il calcolo di somme
e differenze.
Siano
a
→
=
a
x
i
→
+
a
y
j
→
e
b
→
=
b
x
i
→
+
b
y
j
→
due vettori fra loro omogenei. Come
si vede dalla
fig. 27
, il vettore
c
→
che risulta dalla somma dei primi due ha
Fig. 26
–
Componenti di un vettore
secondo una terna di assi cartesiani.
Fig. 27
–
Componenti cartesiane
del vettore somma di due vettori
a
→
e
b
→
.
O
y
z
x
A
a
y
A
9
a
x
a
z
a
b
y
a
x
b
x
a
y
c
y
c
x
O
a
b
c
=
a
+
b
x
y
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